物理極值問題的求解方法2

物理極值問題的求解方法2

物理極值問題的求解方法2

三、用一元二次方程判別式求解極值問題
   在中學代數中曾學過，對于一個一元二次方程，當它的判別式B²-4AC≥0時，此方程有實數解。若我們在解物理習題時能選擇適當的物理量作為未知量。使其成為一個一元二次方程，巧妙地利用判別式可解決極值問題。

例1.一個質量為m的電子與一個靜止的質量為M的原子發生正碰，碰后原子獲得一定速度，并有一定的能量E被貯存在這個原子內部。求電子必須具有的最小初動能是多少？
分析與解：設電子碰前的速度為υ₁，碰后的速度為，靜止的原子被碰后的速度為。
    由動量守恒定律有 (1)
    由能量守恒有 (2)
    在以上兩個方程中，有三個未知數，υ₁、、，一般的同學認為少一個方程，難以求解。但由（1）式解出代入（2）
    可得：
    進一步整理可得：(M+m)m-2m²υ₁+(m-M)mυ₁²+2ME=0
    此式是關于的一元二次方程，因電子碰后的速度必為實數，所以此方程的判別式B²-4AC≥0 即
    4m⁴-4(M+m)m[(m-M)m+2ME]≥0
    根據上式整理可得：
    所以電子必須具有的最小的初動能是

例2.如圖2-1所示，頂角為2θ的光滑圓錐，置于磁感應強度大小為B，方向豎直向下的勻強磁場中，現有一個質量為m，帶電量為+q的小球，沿圓錐面在水平面作勻速圓周運動，求小球作圓周運動的軌道半徑。
分析與解：小球在運動時將受重力mg，圓錐面對球的彈力N，及洛侖茲力f的作用，如圖2-2所示。設小球作勻速圓周運動的軌道半徑為R，速率為υ。

  

    由正交分解可得
    聯立（1）、（2）試可得
    上式有υ、R兩個未知量，似乎不可解，但因為是求極值問題，可用一元二次方程判別式求解。因為υ有實數解，由B²-4AC≥0
    即
    ∴小球作圓周運動的最小半徑為

例3.在擲鉛球的運動中，如果鉛球出手時距地面的高度為h，速度為υ₀，求υ₀與水平方向成何角度時，水平射程最遠？并求此最大的水平射程X_max。
分析與解：以出手點為坐標原點，可分別列出水平方向與豎直方向的位移方程。
   
    上式為關于tgθ的一元二次方程。若tgθ存在實數解，則判別式B²-4AC≥0
    即
    解出結果后，我們可聯系實際進行如下驗證。設出手高度h=0,
    則
    θ=45°。這就是我們過去曾經知道的一個物體做斜拋運動，當θ=45°時其射程最遠。

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