20以內加、減法教材改革的初步實驗研究

　　* 這里不管用什么方法，用數手指的方法算出正確結果的也算在內。

　　4.一般每小節教學之前與實驗教師備一次課。第一次實驗時，由于只編一部分實驗教材，未能完全按照預先計劃的課時進行教學；第二次實驗時，完全按照預先計劃的課時進行教學。

　　5.對實驗情況的收集和研究，主要采取以下幾種方法：做聽課記錄，階段測試，個別查問，對比測試，專項調查，對記錄、測試結果進行分析、討論。

　　著重分析以下幾個問題。

　�。ㄒ唬╆P于提早出現等號、大于號、小于號

　　在現行通用教材中，等號是在開始教加法時出現的，大于號、小于號是在第二冊教學求兩個數相差多少的應用題時出現的。實驗教材改在準備課中教比較兩組物體多少時出現，以后結合數的認識和計算，做一些數的大小比較的練習，如7＞6，5+3＜9等。（圈里的符號要求兒童填）

　　從實驗情況看，開始教學大于號、小于號，多數兒童能掌握，有少部分兒童不知開口朝向較大的數。學完10以內加減法，絕大多數掌握得比較好。測試結果如下：

　　提早出現大于號和小于號，是近20年來小學數學教學發展趨勢之一。如蘇聯、民主德國在一年級認l、2時都出這兩個符號，英、法兩國也出得比較早。從實驗情況看，提早出現這兩個符號是完全可能的。因為兒童已經有了比較物體的數量多少的經驗，這里只是把這種比較符號化；而這兩個符號形象易懂，兒童只要記住開口朝向較大的數就不難掌握。在實驗中還看到出現這兩個符號有以下好處：1.在以后認數時便于用來表示比較數的大小，從而有利于弄清數的概念。2.有助于理解“相等”的概念。正如贊科夫所說，只有跟“不等”進行比較，才能掌握“相等”這個概念。3.經常利用對應關系比較實物多少和數的大小，可為以后教學求兩數相差多少等應用題做較好的準備。4.出現大于號和小于號以后，可以使練習形式增加變化，有助于培養兒童思維的靈活性。例如，學完10以內加減法，出了一道思考題，3+□＜5，1985年實驗班填對的達91.6％。教學時有一點值得注意，最初幾節課只要讓學生初步認識大于號、小于號，不要求全班一下都掌握，而要在以后的反復練習中逐步掌握。

　�。ǘ�）關于10以內加、減法的編排

　　這部分教材進行實驗時，由于加強操作，把加、減法結合著教學，兒童的學習積極性高，掌握知識的質量好。實驗的結果如下：

　　1985年實驗班后來參加本校一年級各班統一測驗，結果正確率和速度都是最好的。

　　根據實驗情況初步分析，實驗教材的編排有以下幾點好處：

　　1.使兒童更清楚地理解加減基本式題之間的關系，便于利用聯想算出加、減法式題的得數�，F行通用教材中加、減法雖然穿插編排，但是相互聯系較少，只是通過少數練習題反映它們之間的聯系。實驗教材從得數是4的加法和相應的減法開始，每次都把加減法對照排列，在兒童操作的基礎上由用一幅圖表示兩個算式（如在4個白木塊和2個黑木塊下面出現4+2=6和2+4=6，在4個綠蘋果和2個紅蘋果下面出現6-2=4和6-4=2），逐步過渡到用一幅圖表示四個算式（如在8個白木塊和1個黑木塊下面出現8+1=9，1+8=9，9-1=8，9-8=1），兒童對10以內加、減法逐漸形成明確的認知結構，計算時聯系數的組成和加減法的關系，能較快地算出結果。在給一幅圖要求兒童看圖寫出兩個加法算式和兩個減法算式時，1984年三個實驗班除了一人不清楚外，其他都明確加減法的關系，1985年實驗班則全都寫出正確答案。

　　2.加、減法結合在一起教，減少了單教加法時得數單一的練習，調動了兒童學習的積極性。同時，由于兒童在頭腦中逐步形成加、減法的內在聯系，以后學到得數是8、9、10的加法與相應的減法，他們自己就能把這種規律性的聯系運用于新的問題之中，這樣就初步培養了兒童的類化、遷移的能力。

　　3.由于新知識的教學相對集中，加強了聯系，兒童又初步有一些類化、遷移的能力，相對地縮短了講授時間，加強了課內練習，從而也減輕了學習負擔。實驗這部分教材時，雖然增加了大于號、小于號，加減混合式題以及用圖畫表示的應用題，而教學的課時數比現行通用教材的計劃課時數還稍有減少。

　�。ㄈ�）關于20以內進位加法和退位減法的編排

　　1984年實驗時，進位加法按照9加幾、8加幾、……的順序編排，同時出現交換加數位置的式題；退位減法結合著進位加法，每次出現相應的減法的所有情況。第二次則按照前述改革要點（4）進行實驗。兩次實驗結果如下：

　　可以看出，根據1985年教實驗班的教師的實際情況，教學成績卻接近1984年實驗班的成績，在計算速度方面還超過了1984年的成績。這個班參加本校統一的期末考試，成績也都優于其他兩個普通班。

　　下面根據第二次實驗情況，也聯系第一次實驗情況，著重分析第二次實驗教材的特點。

　　1.新課的內容單一，思路單一，規律突出，兒童比較容易掌握。如9加幾，都先把第二個加數分成1和幾，用1和9湊成10；8加幾，都先把第二個加數分成2和幾，用2和8湊成10；算十幾減9，在熟練9加幾的基礎上，都想9加幾等于被減數；算十幾減8，在熟練8加幾的基礎上，都想8加幾等于被減數；……大多數兒童都能較快地學會推想方法，并達到熟練。少數兒童開始學減法有些困難，主要是在計算十幾減9、減8時不會用加法逆向聯想算出減法的得數；也有少數兒童雖然能用加法推想，但由于加法不熟練而想錯了得數；還有個別兒童在想未知的加數時與湊十的加法混淆，如算15-9想成9+（4）=15，算16-9想成9+（5）=16，誤認為想出的數比和的個位數少1。（第一次實驗也有類似情況）經過及時的輔導，一方面借助逆向聯想的卡片[如15-9=（ ），9+（ ）=15]教會兒童推想的方法，另一方面加強相應的進位加法的練習，兒童逐步都掌握了，以后計算就比較順利，有的后進生進步還較快。下面列舉1985年實驗班的幾個兒童的進步情況：

　　從表中看出，兒童接受新知識的快慢程度是有明顯差別的。有些兒童理解和掌握新知識要經歷一個較長的過程。這些兒童暫時處于落后狀態，但并不都是差生。只要教師明確這一點，及時地、耐心地和有針對性地給以幫助，這個暫時困難可以逐步克服，最后還能取得較好成績。

　　2.新的編排方式有助于發展兒童智力。在實驗中看到，多數兒童在學8加幾時能把已經掌握的湊十方法遷移到新的情況中去。教學時實驗教師有意識地提問：計算9加幾和計算8加幾時都用湊十法，有什么不同的地方？很多兒童能正確地回答。這會促進兒童分析、比較能力的發展。教學退位減法時，運用加法推算減法的得數（如15-9，兒童要想9加幾得15，因為9加6得15，所以15減9等于6）這種訓練本身就是培養兒童初步推理能力的過程，而且用加算減帶有逆向思維的性質，而培養逆向思維是培養思維能力的一個重要方面。前面所舉的少數兒童感到困難的也正是這一點。但是兒童通過實際操作、觀察演示以及借助逆向聯想的卡片練習，逐漸掌握了推想的方法，后面的學習就比較順利。這時兒童不但計算能力明顯提高，類化、遷移的能力也獲得發展。

　　3.新的編排便于逐步簡縮思維過程，提高計算速度，最后形成熟練的計算技巧。開始教學9加幾、8加幾……的湊十方法，只是教給兒童推想的一般步驟，兒童大都按照思考步驟來計算。經過一些練習，教師引導兒童簡縮思維的中間環節。如9+3，只要想3撥過1（省略“和9湊成10，3還剩2，合起來”）得12；8+5，只要想5撥過2，得13。兒童掌握這個規律以后，計算速度有較明顯的提高。再經過一定的練習，達到看見式題不假思索地很快說出得數。至于退位減法，開始按照9加幾得12，8加幾得13等來推想12-9、13-8等的計算結果。以后在掌握基本推想方法的基礎上，對于減數較大的情況，也適當啟發兒童找規律，有助于簡縮思維過程。如減9所得的差比被減數的個位數都多1，等等。實驗表明，這種簡縮思維過程、探索規律的工作不能進行得太早，在兒童還沒掌握基本推想方法時教這種簡便的方法，容易造成混亂，欲速則不達。另外，注意加減法之間的聯系仍然很重要。開始為了便于兒童掌握，只限一個加法算式和一個減法算式建立聯系，如9+2和11-9，8+3和11-8，……隨著學習的進展，逐步建立兩個加法算式和兩個減法算式的聯系，最后還加以綜合整理。這不僅使兒童進一步明確加減法的關系，而且便于兒童運用多方面聯想，促進思維過程的簡縮，較好地掌握20以內的進位加法和退位減法。

　　4.新的編排方式便于教師采用不同的推想方法。近年來有些教師由于看到部分兒童用加法逆向聯想來計算20以內退位減法比較困難，改教“破十法”，或進行了實驗。但是這樣教學時需要改變現行通用教材的編排順序。這次實驗教材改變了編排方式，為教師采用不同的推想方法提供了方便。（有關“破十法”問題將在后面加以討論。）

　�。ㄒ唬┊斍�，數學教材改革的一項重要任務，就是如何使兒童容易理解和掌握數學基礎知識，減輕學習負擔，同時又促進兒童智力的發展。要完成這項任務，研究和處理好數學教材的結構具有十分重要的意義。正如美國心理學家布魯納所說的，“不論我們選教什么學科，務必使學生理解學科的基本結構�！碧K聯教育家斯卡特金在《現代教學論問題》一書中也強調要確定學科的結構，以適應普通教育的目的。本實驗表明，在小學數學中，即使是一年級最簡單的內容也存在著研究教材結構的問題。良好的教材結構便于教師教和學生學，可以促進教學質量的提高。

　�。ǘ�）20以內加、減法教材的結構可以是多種多樣的。但是良好的教材結構，一方面必須反映數學的基本概念和基本原理，另一方面要符合兒童的認知特點。美國G.F.格林認為，“應當成組地講解基本式，而不要單個地講，”它的好處是可以“減少要學習的各自獨立的內容的數目，便于從結構上做出概括結論并教兒童如何應用它們�！倍嗄陮嵺`和本實驗證明這種看法是正確的。但是如何分批分組，要對具體內容進行具體分析。蘇聯心理學家贊科夫在論教科書的系統結構時，強調要注意教育功能的多方面性，不僅使兒童掌握數學知識和技巧，而且要促進他們的一般發展。本實驗結果表明，10以內加、減法把兩種運算結合起來教學，20以內進位加法和退位減法穿插編排，以后逐步加以綜合整理，能使兒童較好地掌握基礎知識和計算技巧，又促進他們智力的發展。

　�。ㄈ�）本實驗表明，初入學兒童學習20以內加、減法時，無論在已有的經驗，領會的速度，把已學的知識遷移到新問題中的能力，識記的能力等方面，都存在很大差異。因此編寫教材，確定要求和進行教學都要注意適應這一點，改變那種“一刀切”的教育思想和教學方法。在教學某一新知識時不能要求所有兒童當堂都掌握，要容許一些后進兒童經過必要的輔導和較長時間的學習實踐逐步掌握。只要教學得法，暫時后進的兒童，能夠逐步達到基本的教學要求，甚至能夠取得較好的成績。

　�。ㄋ模┍緦嶒炿m然初步取得較好結果，但是教材的結構和其他方面的安排是否普遍適合各地情況，還有待進一步實驗研究。其中20以內退位減法，實驗表明，用加法逆向聯想來算，仍是比較好的一種方法。它對于使進位加法進一步熟練，深刻理解加減法的關系，發展兒童智力，都有一定的促進作用。少數兒童開始學習會有一些困難，但只要多利用操作、直觀，及時給以幫助，是能夠逐步掌握的。實驗教材的編排也為教師采用其他方法（如“破十法”）提供了方便。關于“破十法”，由于某些原因沒有進行對比實驗，僅在采用這種方法的學校進行了一些調查。初步看到，采用“破十法”，兒童比較容易理解和掌握，經過練習也能達到熟練的程度；有些兒童能夠簡縮思維步驟（如13-8，很快想8的補數2，加3得5）。但是也有很多是分步算的。特別是在計算兩位數減法時（如61-7，72-36），有些兒童要用鉛筆或手指先點著被減數的十位和減數的個位，再點著減數的個位和被減數的個位，少數兒童甚至往返幾次，才算出得數，因而速度很慢。另外，采用“破十法”，削弱了加減法之間的聯系，不利于培養兒童通過多種聯想運用舊知識解決新問題。這個問題還有待進一步研究，并進行一些追蹤調查。