解答數學題不能只憑想象

解答數學題不能只憑想象

    有些貌似簡單，似乎不需要通過計算就能得出結論的問題，往往容易使你判斷失誤，造成錯解。我們先看 例1。
    例1 有兩塊大小一樣的正方形鋼板，其中一塊沖出4塊大小一樣的圓形鋼片（如圖1（甲）），另一塊沖出 9塊大小一樣的圓形鋼片（如圖1（乙））。問哪一塊鋼板所剩的下腳料多？
    附圖{圖}
    乍一看，圖1（甲）所剩的下腳料多一些，因為圖1（甲）中的空隙大，而圖1（乙）中，每個圓的面積小， 填補空隙的能力強， 留下的空隙小，似乎很有道理，其實不然。我們先解決一個簡單的問題。 如圖2，求正方 形內切圓的面積占該正方形面積的百分之幾？
    a
    不妨設這個正方形的邊長為a，則其內切圓的半徑為──，
    2
    a
    3.14×（—）[2]
    2 1
    由────────────＝3.14×──＝78.5％，得正方形內
    a[2] 4
    切圓的面積占該正方形面積的78.5％。
    附圖{圖}
    現將圖1中的（甲）（乙）兩圖添作輔助線，如圖3所示：
    附圖{圖}
    令正方形鋼板的面積為S，由上例立即得到，圖3（甲）中每個圓形
    1 1
    鋼片的面積為──S×78.5％，所剩下腳料的面積為S－──S×78.5％
    4 4
    1
    ×4＝21.5％S。同理，圖3（乙）中每個圓形鋼片的面積為──S×78.5
    9
    1
    ％， 所剩下腳料的面積為S－──S×78.5％×9＝21.5％S。綜上所述，
    9兩塊鋼板所剩的下腳料同樣多。
    例2 如圖4，兩只同樣大的硬幣，其中一只固定，另一只沿其周邊滾動（無滑動）。當滾動的一只硬幣沿 固定的一只硬幣周邊滾過一圈回到原來的位置時，滾動的那個硬幣轉了幾周？
    附圖{圖}
    對這個問題不仔細考慮，動幣好像轉了一周。但認真加以分析，問題并不那么簡單。為了便于說明問題， 在動幣圓周上取一點A（如圖4），考察A轉過的角度，每轉過一個360°為一周�，F將此運動分解成兩種簡單運 動。第一種運動，如圖5（甲），動幣的軸AB 的方向始終指向定幣的圓心，B點在定幣周邊上滑動一周，此時， A轉過360°； 第二種運動，如圖5（乙），動幣沿著與定幣周長相等的一條線段滾動，A又轉過了360°。這樣 ，以上兩種運動合起來，動幣轉了2周。本題，也可以用動幣圓心軌跡的長除以動幣的周長，求出動幣轉的周數 。以上結果，可通過動手操作，直接得到驗證。
    附圖{圖}
    由此看出，對一些似乎能一眼看出答案的題目，不能只憑想象，還要通過分析、計算或實際操作，從而得 出正確的結論�，F在，你一定能正確的判斷出圖6中從A到B 的兩條路徑（每段弧都是一個半圓）的長短，試試看。

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