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學齡前兒童計算能力的發展
學齡前兒童計算能力的發展�。ㄕn程教材研究所 曹飛羽）
對兒童進行早期數學教育，不僅需要研究了解幼兒數概念發展的特點，也需要研究了解幼兒計算能力發展 的特點。只有掌握幼兒計算能力的發展規律，才便于正確地確定幼兒計算教學的內容，提出適宜的進行計算教 學的方法，同時也便于小學在此基礎上進行較為系統的數學教學。
研究表明，幼兒在數概念發展的同時，計算能力也在逐步地發展著，而且與數概念的發展有著緊密的聯系 .幼兒的計算能力也是在各種活動中以及成人的教育影響下逐步發展起來的。他們在對物體集合的元素反復進 行操作的基礎上形成運算的初步概念，逐步掌握計算的方法，并對一些小的數目的計算逐步達到比較熟練。
一、幼兒的加、減計算能力的發展
通過測試研究，幼兒的加、減計算能力的發展大體經歷三個階段。
�。ㄒ唬⿲嵨锊僮麟A段（三—四歲）
三歲以下的幼兒，對加、減計算基本上還處于朦朧狀態。測試結果表明，讓兩歲半以下的幼兒先拿1個木 塊，再添上1個木塊，問一共有幾個木塊，只有了1/3兒童能做對。有1/3兒童不會拿�；蛘呦茸ヒ话�， 再抓一把，或者先拿1個然后又拿走，也說不出有幾個。還有1/3兒童在試者引導下能操作，但說不清一共 有幾個木塊。如果讓兒童先拿1個，再添上2個，則只有16.7%的兒童能夠操作，但說不出一共是3個。 有少數兒童還是先拿1個，再拿1個，說一共是2個。這表明這些幼兒只認識數目2.減法的實物操作有類似 的情況。超過兩歲半而不滿三歲的幼兒，83.3%能進行“1+1”“2-1”的實物操作，但當試者提出 “1+2”“4-2”之類的實物操作要求時，能做對的很少。在出示需要用“1+1”或“2-1”計算的 實際問題時，兩歲半以下的幼兒基本上都不會做，而且83.3%的幼兒的回答是加法問題和減法問題的得數 相同。這表明這些幼兒在操作活動和數目的計算之間還沒有建立起聯系。超過兩歲半而不滿三歲的幼兒，對需 用“1+1”計算的實際問題多數能正確回答，對需用“2-1”計算的實際問題則有半數能正確回答；但是 當改換其他數目，如需用“2+2”“5-2”計算的實際問題則只有極少數能正確回答。這說明這個階段的 大多數幼兒，由于多次操作活動開始形成牢固的個別聯系，即1個添上1個是2個，2個拿走1個剩1個，但 還不真正理解加、減運算的一般含義。
三歲多的幼兒開始進入加、減法的實物操作階段。這時約有半數幼兒能夠進行5以內加、減法的實物操作 ,極少數幼兒還能進行10以內加、減法的實物操作。有些幼兒能夠正確地進行操作，但是說錯了得數。另外 還有些幼兒由于點數實物的能力還很差，操作還有困難。開始有一部分幼兒通過操作初步理解加、減法的含義 ,即添上是加，拿走是減。由于多數幼兒能點數實物并說出計數的結果，因而有些幼兒不僅能口頭回答得數， 而且同時能用手指表示得數。例如，當提問“1個添上2個是多少？”有些幼兒一邊回答“3個”,一邊伸出 3個手指。這說明幼兒在做加減計算時在極大程度上需要實物操作的支持。如果讓幼兒做抽象的數的計算，則 5以內的加法有37.4%的幼兒做對，5以內的減法只有20%的幼兒做對，而且做對的題目大多是重現他 們生活經驗中已經形成聯系，幼兒還不會利用實物操作的方法（以數手指）去解決他們不熟悉的計算題。至于 結合兒童生活經驗的實際問題，除了需用“1+1”“2-1”計算的題目大多數幼兒能口答以外，其他題目 很少能做對。大多數幼兒不理解題意，隨便說一個數來回答；甚至有的幼兒還沒聽完整個問題，就說出一個得 數。也有極少數幼兒能答對5以內的加、減法應用題，但是不明確是怎樣算的。例如，提問一個三歲十個月的 幼兒，“小明有2塊糖，媽媽又給他2塊，小明一共有幾塊糖？”在說對得數以后，問她是怎樣想的，她說： “我知道幾個數，1加1等于2,2加2等于4.”這說明三歲多幼兒還沒有明確的選用運算方法和已知數的 意識，有些幼兒雖然初步知道要用加法或減法計算，但是還不會根據題意選擇已知數，于是往往把自己所會的 加法算式都說出來作為回答，出現對刺激的反應的泛化現象。
�。ǘ┌刖唧w半抽象階段（四—六歲）
這一階段幼兒計算能力的發展有以下幾個特點。
1.幼兒完全掌握了5以內加、減法的實物操作，大多數掌握了10以內加、減法的實物操作。通過實物 操作大多數幼兒初步理解加、減法運算的含義。
2.能進行一些抽象數目的加、減計算，但一般離不開具體的實物操作，出現大量扳手指的現象。同三歲 多的幼兒相比，應該說這是一個很大的進步。因為三歲多的幼兒還沒有完全掌握用實物計算的方法，還沒有學 會利用手指進行計算。在測試中，令三歲幼兒用手指算，大多數都不會。例如，讓三歲七個月女孩伸指算3個 添上2個是多少，她右手伸3個手指，左手伸1個手指；算6個添上3個是多少，就不會伸手指了。讓三歲十 一個月男孩算5個減去3個是多少，(www.annahuzar.com)他先答“6”.再讓他手指算，他先錯誤地伸4個手指，而且不會去掉3 個。但是四歲多的幼兒，由于大都有了利用實物計算的能力，有些幼兒開始能把用實物計算的方法應用于抽象 的數目的計算中去。測試結果表明，5以內加、減法，很多幼兒不需用手指就可以算出得數，5以上10以內 的加、減法，四歲多幼兒基本會用手指計算的只占33%左右，而五歲多幼兒基本會用手指計算的就達75% 左右。但是能用手指計算20以內加減法的仍占少數，約占25%左右，而且大多是五歲半以上的兒童。這些 幼兒在用手指算20以內的進位加法時，也明顯地反映出半具體半抽象的特點。例如，讓一個五歲八個月的女 孩算“8+4”,她先伸出8個手指，然后看著手指接著數4個數，說得“12”;另一個五歲9個月女孩， 采取另外一種方法，他伸出4個手指表示要加的4,然后看著手指點數9、10、11、12,說得“12” .
3.口頭解答加、減法應用題能力有較大發展。四、五歲的幼兒絕大多數能口頭解答5以內加、減法應用 題，一半左右能口頭解答10以內加、減法應用題。這與幼兒掌握了用實物計算加、減法有密切的聯系。在成 人教育的影響下，幼兒通過大量的用實物計算活動，一方面初步理解加、減法的含義，另一方面逐步學會用實 物（特別是手指）計算的方法，從而就為口頭解答加、減法應用題創造了條件。測試結果表明，這個階段的幼 兒口頭解答5以內加、減法應用題，正確率都高于相應范圍的抽象數目的計算，有些幼兒做得還比較熟練。但 是這不能說明幼兒對加、減法的含義和應用已有較深的理解，仍說明這個階段幼兒的加、減法計算的半具體半 抽象的特點，并在很大程度上是因為聯系兒童日常生活的事物為兒童提供了具體的直觀的表象。從以下的事實 可以得到證明：1.這個階段的幼兒在操作活動中往往是用“添上”“去掉”等詞語來表示“加”和“減”的 概念的，當出示抽象數目的式題，如說“3加2”“5減3”時，很多幼兒還不懂“加”“減”的意思，甚至 有用手指計算加法的方法來計算減法。2.有些幼兒不會做5以內加、減法的某幾個式題，但是能夠做類似的 應用題，這在減法中尤為明顯。例如，在五歲的幼兒中有50%不會做式題“5-3”,其中三分之一的幼兒 完全不懂“5-3”的意思，但是都能做對用“5-2”計算的應用題；其中一半幼兒在做式題“5-3”時 不會扳手指，但是做用“5-2”計算的應用題時卻能用扳手指的方法做對了。這說明由于應用題給幼兒提供 了計算活動的情境，使幼兒在頭腦中產生實物計算的表象，借助表象并配合實物計算達到正確地計算出結果。 3.在口頭解答應用題時，大多數幼兒只能說出得數，而說不出加法或減法算式。如五歲多的幼兒能說出加法 算式的只占1/3,能說出減法算式的只有8.3%.說明幼兒雖然能口頭解答一些加、減法應用題，但仍處 在直觀的表象的階段，幼兒對于用加、減法算式來表示生活中的計算問題還沒上升到概括性的認識。
另外一個值得注意的問題是，這個階段的幼兒在抽象數目的計算中，一般都表現為加法的成績明顯優于減 法的成績。說明減法計算要比加法計算難。這與幼兒的心理發展有關。按照皮亞杰的觀點，從心理學上講，加 法與減法是一種運算。因為作一個運算，其特點之一是具有可逆的行動。加法作為一種可逆的運算，其本身就 包括了它的逆運算——減法。但是在幼兒期，還缺乏可逆行的運算能力。據測試，四、五歲幼兒有50%對提 出的減法題做了加法。其中大多數是用手指算的。例如，算“3-1”,幼兒左手伸3個手指，右手伸1個手 指，然后合起來數，說得“4”.少數幼兒不伸手指，直接按正序數數。例如，算“5-3”,一個幼兒按正 序數1、2、3、4、5、6,說得“6”.在口頭解答減法應用題時，有些幼兒雖然說對了得數，但是當讓 他們解釋怎樣算的時候，往往說的是加法。例如，提出這樣一道應用題，“小華有5塊餅干，吃了2塊，小華 還剩幾塊餅干？”一個四歲八個月男孩回答，“因為3塊餅干加上2塊餅干，吃了2塊餅干�！币粋�四歲七個 月女孩則回答，“因為3加1等于4,4加1等于5.”（同時把5個手指和3個手指加起來。）這說明幼兒 在思考減法應用題時，還不會直接用減法計算，而是用嘗試法給減數添上幾個湊成被減法，從而確定剩余的數 .在成人看來這樣想似乎是困難的，實際上這是幼兒向可逆行的運算能力發展的趨型，這樣還為進一步認識加 減法的運算關系做了具體的準備。這種情況在五、六歲的幼兒中也�？吹�。
�。ㄈ┏橄髷档募�、減計算階段（六—七歲）
這個階段兒童開始進入抽象數的加、減計算，這時兒童的加、減計算能力有較快的發展，主要有以下幾個 特點。
1.絕大多數兒童掌握了5以內的加、減法，多數能做10以內加、減法，少數能做20以內的進位加法 和退位減法，甚至能做100以內比較容易的加、減法。
2.依靠實物計算有所減少。特別是5以內的加、減法，大多數兒童能夠不費思索地答出得數，還需用手 指計算的兒童不到20%,這同四、五歲幼兒相比已顯著減少。10以內的加、減法，特別是一些數目較大的 計算，仍有約半數的兒童往往要用手指計算。至于20以內的加、減法，還有少量兒童不會用手指計算。經過 教師的教學，大都能掌握計算的方法。
3.有些兒童能夠部分地或完全擺脫實物計算，進入抽象數的加、減計算。他們的推想方法是多種多樣的 .在做加法時主要采用以下幾種方法：（1）在第一個加數后面接著數數。如8加4,有的兒童能從8起接著 數4個數，得到12.（2）分組加。如6加9,有的兒童想到6加4等于10,10再加5等于15.（3 ）利用熟悉的相同數加得的和來推算。如4加3,有的兒童想出4加4等于8,再減少1個，得7.這表明這 些兒童已初步理解整體與部分間的某些增減關系和變化規律。在做減法時主要采用以下幾種方法：（1）倒著 數數。如15減8,從15起一個一個地倒數到7.（2）利用加減關系。如8減5,有些兒童能說出，“因 為5加3等于8,8減5就等于3.”表明這些兒童已經具有可逆行的運算能力。（3）利用已熟悉的減法來 推算。如11減6,有些兒童說10減6等于4,11減6等于5.這實際上也是利用了整體與部分間的增減 關系和變化規律。以上這些推想方法，在一定程度上具有邏輯運算的性質，只是在兒童的頭腦中還是直觀的、 具體的，還沒有形成抽象概括，但是無疑為以后的進一步抽象概括打下了重要基礎。在測試中也發現有些兒童 對所給的題目能夠正確答出得數，卻說不出所用的推想方法，或者對10以內加、減法能說清楚，而對20以 內加、減法就說不清楚。這表明這個階段很多兒童對自己的思維還缺乏自我意識的能力。
這個階段的兒童在做用加、減計算的應用題時，比前一階段也有所發展。但是由于兒童對加、減法的概念 主要從合并、添加、去掉等方面來理解，因此所能解答的應用題也主要限于這個范圍之內。至于求兩數相差多 少的應用題，兒童還很少理解。據研究[①],五、六歲的幼兒理解合并、添加用加法，去掉用減法，可達9 0%以上，而理解求差需用減法的，只占30%左右。
二、幼兒乘、除計算能力的發展
幼兒的乘、除計算能力的發展與加、減計算能力的發展不同，一般地說是在非教學影響下自發地發展起來 的，其發展的起始較晚，發展的速度較慢。但是即使如此，不少幼兒用非乘、除計算的方法口頭解答實際問題 的能力也達到一定的水平。
測試結果表明，能夠用非乘、除計算的方法口頭解答乘、除法應用題的幼兒，最早始于四歲半左右。四歲 半以下的幼兒都不理解題意，很少作出反應。四歲半以上至五歲多的幼兒一般都有反應，但是多數回答是錯誤 的，能正確算出結果的約占25%左右。四、五歲幼兒在進行計算時，同做加、減法類似，大多數依靠實物， 主要是看手指。例如，提出一道乘法應用題，“一個小朋友給2個蘋果，3個小朋友一共要給幾個蘋果？”五 歲八個月的女孩邊伸手指邊說，“一個小朋友給2個，2個小朋友給4個，再來一個小朋友是6個�！碧岢鲆� 道除法應用題，“老師有8支鉛筆，一個小朋友分給2支，可以分給幾個小朋友？”五歲一個月的男孩伸出8 個手指，把每2個并起來，邊扳手指邊說，“這倆是一個小朋友的，這倆是兩個小朋友的，這倆是3個小朋友 的，這倆是4個小朋友的�！毖哉Z表達雖不確切，但從他的操作過程看，思路是很清楚的。六歲多的幼兒做乘 、除法應用題能正確算出結果的可達半數左右，而且需要憑借實物操作的有所減少，開始能夠依靠表象進行思 考。例如，在做乘法應用題時，有的幼兒能用連加法計算，如“2個和2個合起來是4個，再2個，合起來是 6個�！庇行┯變翰扇×硗庖环N加法，他們的思路是，“一人給1個就要給3個，一人給2個就要加上3個， 所以是6個�！睂嶋H上是把人數作為相同數相加，這反映了實際分物品的一種方法。在做除法應用題時，有的 幼兒能用同數連減的方法推算出來；還有的幼兒壓縮了思維過程，簡化了推算步驟，如說“8支鉛筆分給3個 小朋友（以后）還剩2支”,從而確定一共可以分給4個小朋友。從幼兒的推想可以看出，他不僅把除法應用 題與減法應用題聯系起來，而且注意到他們之間的區別，即做除法應用題時，不是求剩余多少，而是看分盡時 減去了幾個2支，就是分給幾個小朋友。但是也還有相當數量的幼兒由于缺乏實際分的經驗，不理解題意，把 除法計算與減法計算混同起來。例如，有些幼兒回答說，“給一個小朋友2支，還剩6支，就是發給6個小朋 友�！边�有些幼兒回答說，“能發出6支鉛筆�！蔽鍤q多的幼兒的回答也有類似的情況。
三、對發展幼兒計算能力的幾點意見
從上面的調查研究可以看出，學齡前兒童計算能力的發展也具有一定的順序性和階段性。一般地說，稍遲 于兒童數概念的發展。三歲以下的幼兒，對加、減計算基本上處于朦朧狀態。三歲多幼兒開始進入加、減法的 實物操作階段。他們能夠用實物操作（包括數手指）做一些簡易的加、減計算，但是還不能用來解決他們不熟 悉的或數目稍大的計算題。四、五歲的幼兒，進入半具體半抽象的階段。一方面逐步完善較小數目的加、減計 算的實物操作，另一方面逐步擴大數的計算范圍；但是他們在很大程度上仍依靠實物操作的方法來進行抽象數 目的計算，只對較小的數目的加、減法能夠擺脫實物或手指來進行計算。六、七歲的幼兒開始進入抽象數的加 、減計算階段。這一時期幼兒依靠實物操作進行計算有所減少，一部分幼兒能夠進行抽象數目的加、減計算， 有些幼兒的抽象思維還達到較高的水平。四歲半以后，有些幼兒的乘、除計算能力也開始發展，但是仍限于用 非乘、除的計算方法來口頭解答乘、除法應用題。幼兒的這些計算能力發展的特點，不僅為學前的數學教育提 供有利的科學依據，也對小學的數學啟蒙教育具有很大的參考價值。
下面就如何根據幼兒的年齡特點，發展幼兒的計算能力，談一點個人意見。
�。ㄒ唬┯變旱挠嬎憬虒W的內容和要求要適應兒童的年齡特點，不宜要求過高。學齡前兒童的教育屬于預備 教育的性質，計算知識和技能的教育也要在這一基本前提下根據幼兒的發展特點適當教給一些極初步的、簡易 的計算知識和技能，不能要求過多過高，否則不利于幼兒德、智、體、美、勞的全面發展。
從國際上看，很多國家對幼兒的計算教育也是比較低的。例如，在日本，幼兒在六歲上小學以前完全不教 加、減計算。在羅馬尼亞，幼兒進入小學前只教加1減1的計算。在俄羅斯，幼兒在學前只教一些簡易的10 以內加、減法，加法只限較大數加較小數，減法只限減數小于差的，計算方法也只限于逐次加1或逐次減1. 美國學前也只教10以內簡易的加、減法。從前邊測試的結果看，我國六歲以下的幼兒，由于教學和家庭的影 響，雖然能做一些加、減計算，但是大都依靠手指，有些幼兒還不會利用手指進行計算；六歲以上的幼兒做加 、減法，也還有少一半要依靠手指。從普及的角度考慮，為了不加重幼兒的學習負擔，使幼兒的身心得到健康 的發展，也避免造成幼兒園與小學的過多重復，可以把幼兒園的計算內容限定在10以內加、減法，而且不宜 要求達到像小學一年級那樣熟練，只要通過實物操作初步理解加、減法的含義，能正確算出較容易的10以內 加、減法的得數就可以了。
�。ǘ┯嬎憬虒W的順序要適合幼兒的心理發展順序。教幼兒計算按照什么順序進行，過去往往帶有盲目性 .例如，有一些家長一開始就教幼兒抽象數目的加、減計算，有些幼兒園或學前班則基本按照教小學生的順序 來教幼兒計算，這都是違反客觀規律的。如前所述，幼兒的加、減計算能力的發展特點是，從實物操作過渡到 半具體半抽象再過渡到抽象數目的加、減計算。因此加、減計算的教學應基本符合這一發展順序。也要教幼兒 認數那樣，適當分散教學，循序前進，逐步擴展和提高�？梢詮乃臍q開始，先教幼兒進行實物操作，如把兩堆 物品合并起來（總數不能過5），數出物品的總數；或從一堆物品（總數不超過5）中拿走一部分，數一數還 剩多少。通過操作給幼兒積累一些加、減法的感性經驗，初步體會“添上”“去掉”的含義就行了。對五歲的 幼兒，可以先結合認數并通過實物操作教給一個數添上1個得到它后面的一個數，從一個數里去掉1個得到它 前面的一個數。在此基礎上出現“加”和“減”的含義以及加1、減1的計算。由于把最簡單的加、減計算與 數數密切結合起來，便于理解和掌握。以后進一步可以教加2、減2的計算方法，使幼兒學會在一個數后面接 著數2個數（即逐次加1），或由這個數往前倒數2個數（即逐次減1）。再往后可引導幼兒脫離實物操作來 推想。這種方法雖然比較原始，但是在幼兒已有的感性經驗的基礎上逐步概括提高，比利用數的組成容易掌握 ,也有助于理解加、減法的含義；而且幼兒掌握了方法以后，即使沒有學過的加、減法，也可以推想出來，從 而有助于發展幼兒的初步遷移能力。此外還要重視口頭解答應用題的教學。如果在上述這些內容給幼兒打好基 礎，就可為小學進行較系統的學習做較好的準備。
�。ㄈ┙虒W方法也要適應幼兒的年齡特點。幼兒的計算教學是極初步的啟蒙性質的數學教學，同時培養幼 兒對數的計算的興趣，為以后上小學做些初步的準備。要達到這一目的，選用適當的教學方法就非常重要。首 先要注意通過各種游戲和有趣的活動來進行計算的教學，使幼兒在游戲、玩耍中學到極初步的計算知識，并且 自始至終注意培養幼兒對計算的興趣。其次教學時選用的方法要符合幼兒的年齡特點。例如，教四歲的幼兒計 算只要進行一些實物操作就可以了，活動的時間不宜太長。就是到了大班，教學一些以抽象為目的的計算也不 能完全離開實物操作，注意在實物操作的基礎上進行適當的抽象、概括。因為整個幼兒階段思維的特點還是以 形象思維為主。此外，在游戲、操作等活動中都要注意啟發幼兒的思考，調動幼兒思維的積極性，使幼兒在學 到極初步的計算知識的同時，思維能力也得到初步的發展。
*本文引用的材料，主要是對北京市一所街道幼兒園和一所小學初入學的兒童，以及河北省萬全、陽原兩 縣農村兒童的調查結果，同時參考了全國九個地區3—7歲兒童數概念和運算能力發展的研究報告。
�、僖娮籼倏√伞秲和訙p法概念的發展》，數學教育國際會議論文摘要，1983年，東京。*
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